集合と命題を学ぶ理由と集合・命題・条件の基本

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最終更新日: 2024年3月27日

この記事ではなぜ「集合と命題」を学び、何に役立つのかを解説した後に、集合・命題・条件の基本とそれらの関係に注目して解説していきます。後半では「かつ」・「または」・否定といった演算や、「すべての」・「ある」の効果と否定との組み合わせを取り上げます。

この分野を初めて勉強する人に「なぜ集合と命題を学ぶのか？」と聞かれたときに、筆者が考える答えは主に次の3つです。

それでは順番に解説していきます。

まず1について、中学数学までは解（答え）がただ1つであることが多く、解が複数ある場合やない場合、もっと言えば無限にある場合を考えることはほとんど無かったと思います。 しかし、高校数学からは解がただ1つではない問題も登場し、そのような問題では解を過不足なく集めて答えることになります。 なので、集合についてきちんと理解しておくことが大切になります。

次に2について、この分野では論理の基礎を学びます。 問題が複雑になるにつれて考えるべき事柄が多くなるので、解いていく中で論理的に辻褄が合わないミスをしたり、そもそも与えられた問題文が何を言っているのかの理解が曖昧になったりします。 このような複雑な問題に出会ったときこそ今回の単元の知識が活きてきます。

そして3について、論理を勉強することで解答の整合性をチェックする癖が付き、質が上がります。 それだけではなく思考が整理された結果、分かることと分からないことの境界がはっきりするので、 完答できなくても採点者に自分が何を分かっているかをアピールできる答案、つまり部分点がもらいやすい答案を作れるようになります。

このように、高校数学の初めのうちは重要性がわかりにくい単元ですが、後半になってくるほど見直したい単元です。

まず、この単元に出てくる言葉や考え方について順番に解説していきます。始めは「集合」についてです。

以上が集合の基本的な説明です。また、集合の関係を表した下のような図をベン図といいます。集合を考えるときはこのように視覚的に確認してみるとわかりやすくなります。

ところで、④で「条件」という言葉が出てきました。次はこの「条件」について「命題」と一緒に解説していきます。

以上が命題と条件の基本的な説明です。③により、集合と条件が対応していることが分かりました。ここで、「全体の集合を決めておく必要がある」について解説します。

例えば、\(x\)についての条件（不等式）\(|x|\leqq 1\)の真理集合、つまり解を求めるとします。このとき、\(x\)が自然数なのか整数なのか実数なのかで解が変わってきます。それぞれ解を求めると、

• 自然数のとき　\(x=1\)
• 整数のとき　\(x=-1 \text{ or } 0 \text{ or } 1\)
• 実数のとき　\(-1\leqq x\leqq 1\)

と解も変わってしまいます。なので、条件を満たすかどうかを考えるときは全体集合を決めておく必要があります。ちなみに、この全体集合のことをその変数の変域と呼ぶこともあります。

注）やや厳密な記述から難しく感じるところがあるかもしれませんが、ほぼ言葉のイメージ通りです。訳として直感的な説明を載せたので参考にしてください。

数に対して四則演算ができるように、命題や条件に対しても同様に演算をすることができます。3種類あるので順番に見ていきましょう。条件は集合と対応していたので、これらの演算により真理集合がどうなるかも確認します。そのために、以下では全体集合を\(U\)、2つの\(x\)についての条件を\(P(x)\),\(Q(x)\)、そしてその真理集合をそれぞれ\(A\),\(B\)とします。

2つの命題に対して「（命題1）かつ（命題2）」という命題を考えます。これは命題1, 2がともに真のときに真となり、それ以外は偽となる命題です。

訳）両方正しいなら○

同様に、2つの条件に対して「\(P(x)\)かつ\(Q(x)\)」という条件を考えます。この条件の真理集合は\(\{x\mid P(x) \text{かつ} Q(x)\}\)です。ここで、\(P(x),\) \(Q(x)\)の真理集合がそれぞれ\(A,\) \(B\)であることから、\(\{x\mid x\in A \text{かつ} x\in B\}\)と言いかえることができます。そしてこの集合を\(A\)と\(B\)の共通部分といい、\(A\cap B\)で表します。

訳）「（条件1）かつ（条件2）」は両方に当てはまるかを考える。それを集めたものを共通部分という。

2つの命題に対して「（命題1）または（命題2）」という命題を考えます。これは命題1, 2がともに偽のときに偽となり、それ以外は真となる命題です。

訳）どちらかが正しいなら○（両方正しいのも○）

同様に、2つの条件に対して「\(P(x)\)または\(Q(x)\)」という条件を考えます。この条件の真理集合は\(\{x\mid P(x) \text{かつ} Q(x)\}\)です。先程と同じように、\(\{x\mid x\in A \text{または} x\in B\}\)と言いかえることができます。そしてこの集合を\(A\)と\(B\)の和集合といい、\(A\cup B\)で表します。

訳）「（条件1）または（条件2）」は少なくともどちらかには当てはまるかを考える。それを集めたのが和集合

命題に対して「（命題）でない」という命題を考えます。これはもとの命題が真のときに偽となり、偽のとき真となる命題です。

訳）もとと逆

同様に、条件に対して「\(P(x)\)でない」という条件を考えます。この条件の真理集合は\(\{x \mid P(x) \text{でない} \}\)です。この場合は、\(\{x\mid (x\in U \text{かつ}) x\notin A\}\)と言いかえることができます。そしてこの集合を\(A\)の補集合といい、\(\bar{A}\)で表します。

訳）「（条件）でない」はもとの条件に当てはまらないものを考える。それを集めたのが補集合

先程の演算を組み合わせたものを考えてみます。具体的には「『\(P(x)\)かつ\(Q(x)\)』でない」と「『\(P(x)\)または\(Q(x)\)』でない」について見ていきましょう。

この条件の真理集合を\(A,B\)を使って表すと\(\overline{A \cap B}\)となります。 また、この条件は「『\(P(x)\)でない』または『\(Q(x)\)でない』」と言い換えることができます。 こちらを同じように\(A,B\)を使って表すと\(\overline{A} \cup \overline{B}\)となります。 以上から\(\overline{A \cap B} = {} \)\( \overline{A} \cup \overline{B}\) が成り立ちます。

この条件の真理集合を\(A,B\)を使って表すと\(\overline{A \cup B}\)となります。 また、この条件は「『\(P(x)\)でない』かつ『\(Q(x)\)でない』」と言い換えることができます。 こちらを同じように\(A,B\)を使って表すと
\(\overline{A} \cap \overline{B}\)となります。 以上から\(\overline{A \cup B} = {} \)\( \overline{A} \cap \overline{B}\) が成り立ちます。

この2つは「ド・モルガンの法則」と呼ばれています。

視覚的に捉えられるベン図の威力が伝わったでしょうか。

ここまでの知識を使って例題を解いてみます。

解説の前に集合の要素の個数についての補足説明をします。有限集合\(A\)の要素の個数を\(n(A)\)と表します。 また、2つの有限集合\(A,B\)について、 \(n(A \cup B)= {} \)\(n(A)+n(B)-n(A \cap B)\) が成り立ちます（つまり、(または)=(個数の足し算)-(かつ)ということ）。普通に足すと共通部分を2回カウントしてしまうのでその分を引くという式です。

全体集合を確認すると100以下の自然数です。整数分野で学習しますが倍数の個数は次のようにして求めます。

1から100までに2の倍数は\(2 \times 1\)から\(2 \times 50\)まであります。したがって、\(50-1+1\)より50個になります。 整数\(m\)から\(n\)までは\(n-m\mathbf{+1}\) 個の整数があることに気をつけましょう。

(1)と全く同じようにして求めます。 1から100までに3の倍数は\(3 \times 1\)から\(3 \times 33\)まであります。したがって、\(33-1+1\)より33個になります。

ここから「かつ」・「または」・否定が登場します。「かつ」が見当たりませんが、6の倍数とは「2の倍数かつ3の倍数」と言い換えられます。 求め方は(1), (2)と全く同じです。6の倍数は\(6 \times 1\)から\(6 \times 16\)までの16個あります。

(または)=(個数の足し算)-(かつ)を使いましょう。\(50+33-16=67\)より、67個です。

(5)は(1)の条件の否定です。100個の自然数のうち50個が2で割り切れるので、逆に2で割り切れないものは\(100-50=50\)より、50個です。 この関係を一般に式で表すと\(n(\overline{A}) = {} \)\( n(U) - n(A)\)となります。

(6), (7)は状況が少し複雑です。困ったときはベン図を書いて視覚的に捉えましょう。

図を書いてみて気づいたかもしれませんがこの問題はド・モルガンの法則が使えます。

(6)は「『2の倍数でない』かつ『3の倍数でない』」という意味なので、「『2の倍数または3の倍数』でない」と言い換えられます。 つまり(4)の否定です。したがって\(100-67=33\)より、33個です。

(6)と同様にド・モルガンの法則が使えます。

(7)は「『2の倍数でない』または『3の倍数でない』」という意味なので、「『2の倍数かつ3の倍数』でない」と言い換えられます。 つまり(3)の否定です。したがって\(100-16=84\)より、84個です。

ここで、そのまま求めた場合と数が一致するか比較してみましょう。3で割り切れない数の個数は\(100-33=67\)より、67個です。 (2または3で割り切れない)=(2で割り切れない)+(3で割り切れない)-(2でも3でも割り切れない)を使うと\(50+67-33=84\)となり、 しっかり数が一致しています。

この分野では「かつ」・「または」・否定といった論理演算の他に、「すべての」・「ある」という2つの言葉がよく出てきます。 これらが何なのか順番に解説していきます。全体集合を\(U\)、空集合を\(\emptyset\)、\(x\)についての条件を\(P(x)\)、その真理集合を\(A\)とします。

注意｜以下の話は1つの文字についての条件の場合です。 複数の文字を含む条件に「すべての」・「ある」を付けた場合については「背理法の使い時まとめと複数の文字を含む条件（準備中）」をご覧ください。

条件\(P(x)\)に対し、「すべての\(x\)について\(P(x)\)」を考えます。これは「\(U\)のすべての要素は条件\(P(x)\)を満たす」という意味で、真か偽か判断できる命題です。この命題は\(A=U\)のときに真となり、それ以外は偽となります。

訳）全部が条件を満たすなら○

条件\(P(x)\)に対し、「ある\(x\)について\(P(x)\)」を考えます。これは「\(U\)のある要素は条件\(P(x)\)を満たす」という意味で真か偽か判断できる命題です。この命題は\(A=\emptyset\)のときに偽となり、それ以外は真となります。

訳）一つでも条件を満たすなら○

続いて、「すべての」や「ある」が含まれる命題を否定したときにどうなるか見ていきます。

この命題は「例外がある」という意味なので言い換えると「ある\(x\)について\(P(x)\)でない」となります。

訳）「全部が条件を満たす」の否定は「一つでも条件を満たさないものがある」

この命題は「1つも条件を満たさない」という意味なので言い換えると「すべての\(x\)について\(P(x)\)でない」となります。

訳）「一つでも条件を満たす」の否定は「全部が条件を満たさない」

ここで例題を解いてみます。問題文で「すべての」や「ある」が違う日本語になっていることがあるのでどちらの意味かよく考えましょう。

まず、「すべての」の効果を確認します。条件「\(x^2 \geqq 0\)」に「すべての実数\(x\)について」が付くことで命題になっています。 (1)は「すべての」がそのまま出てきているので先程勉強した通りです。\(\geqq\)の否定はそれぞれ\(<\)になるので、(1)の答えは「ある実数\(x\)について\(x^2 < 0\)である。」 となります。

(1)と同様に解けます。条件「\(\sqrt{x}=2\)」に「ある実数\(x\)について」が付くことで命題になっているので、 この命題の否定は「すべての実数\(x\)について\(\sqrt{x} \neq 2\)」となります。

(3)は条件「\(|x| < 0\)」に「存在する」が付いて命題になっています。 この「存在する」は「ある」と同じ意味です。つまり、今までこの命題を今まで習った形に言い換えると、 「ある実数\(x\)について\(|x| < 0\)を満たす。」となります。

なので(2)と同じように解くと、答えは「すべての実数\(x\)について\(|x| \geqq 0\)を満たす。」です。

条件「\(x\)は奇数である」に「任意の」が付いて命題になっています。 この「任意の」は数学特有の使い方をするので注意が必要です。 数学において「任意の\(x\)について」という表現は「（どの\(x\)を選んだとしても）すべての\(x\)について」という意味です。「（どれか適当に選んだ）ある\(x\)について」という意味ではないので注意しましょう。

したがって(4)の答えは「ある素数\(x\)について\(x\)は偶数である。」となります。

条件「\(2^x\)が0以下」に「少なくとも1つの」が付いて命題になっています。 この「少なくとも1つの」は「ある」と同じ意味です。 よって、(5)の答えは「すべての自然数\(x\)について\(2^x\)が0より大きい。」となります。

条件「\((x+1)^2=x^2+2x+1\)」に「常に」が付いて命題になっています。 この「常に」は「すべての」と同じ意味です。 よって、(6)の答えは「\(x\)を実数とすると、ある\(x\)について\((x+1)^2 \neq x^2+2x+1\)が成り立つ。」となります。

今回の内容をまとめると、

1. 「集合と命題」分野は数学の問題を考えるときの基礎になる
2. 「かつ」・「または」・否定という3つの演算がある（論理演算といいます）
3. \(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B},\) \(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\)（ド・モルガンの法則）
4. 1つの文字についての条件に「すべての」や「ある」が付くと命題に変わる（量化といいます）
5. 「『すべての\(x\)について\(P(x)\)』でない」\(\Leftrightarrow\)「ある\(x\)について\(P(x)\)でない」
   「『ある\(x\)について\(P(x)\)』でない」\(\Leftrightarrow\)「すべての\(x\)について\(P(x)\)でない」（\(\Leftrightarrow\)は言い換え可能の意味）

（参考）「論理演算」や「量化」という言葉が出てきましたが、これらは「集合と命題」分野の発展である大学数学の数理論理学の用語です。 興味を持った人は「数理論理学　※準備中」をご覧ください。

1. 今回登場した\(\Leftrightarrow\)の解説となる「同値」を扱います。
2. 必要条件・十分条件という考え方やそれが集合とどのように対応するかを見ていきます。
3. 今回は条件に「すべての」や「ある」を付けて命題にしましたが、それらを含めた命題の真偽の証明方法を扱います。

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