ベクトル空間の公理と部分空間

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最終更新日: 2024年3月30日

この記事ではベクトル空間とは何かを定めたベクトル空間の公理を紹介して、そこから成り立つ基本的な命題を解説します。また、後半では部分空間について扱い、その判定方法を例題も解きながら学んでいきます。

（抽象）代数学とは、集合とその集合における演算（足し算・掛け算のようなもの）を考えて、その性質（構造）を調べる学問です。 集合とその集合における演算の組のことを代数系といいます。

代数学では代数系がもつ基本的な法則だけを前提とすることで、理論を抽象化して幅広い場合に応用できるようにしています。 これから学ぶ線形代数も代数学に含まれていて、線型空間（ベクトル空間）という特別な代数系について学習します。 世の中にはこのベクトル空間と見なせるものが多くあるので線形代数の理論を使えて便利というわけです。

ベクトル空間について説明するときに「体（たい）」という言葉が出てきますが、ザックリ言うと体とは、四則演算に相当する演算ができる代数系のことを指します。 具体例は、実数体$\mathbb{R}$（普通の四則演算をもつ実数の集合）や複素数体$\mathbb{C}$です。 逆に整数全体の集合$\mathbb{Z}$は割り算がいつもできるわけではないので体ではありません。 体と聞いてわからなくなったら具体例である$\mathbb{R}$や$\mathbb{C}$を考えてみてください。

また、体はドイツ語のKörperに由来して$K$で表します。 詳しく知りたい方は「群・環・体（準備中）」をご覧ください。

それではいよいよベクトル空間とは何かを説明していきます。以下では集合の要素のことを元と呼んでいるので注意してください。

（注：公理とは議論を始めるために前提として仮定される性質のことを言います。つまり、ベクトル空間と言われたら下の性質が自動的に成り立つものと思ってください。）

どれも当たり前のように見えますが、このたった8つの性質だけを前提として話を進めていくことができます。 これだけだととても抽象的でわかりにくいので、具体例をいくつか用意しました。 イメージを膨らまるのにご活用ください。

公理は8つもあって覚えにくいですが、もし群論を勉強したことがあれば前半4つはベクトル空間が加法について可換群であることを言っています。 そして、スカラー倍という演算はベクトル空間特有なのでその性質について後半4つで言っています。 このように分類すると少し覚えやすくなると思います。

ここからは先程の公理を満たすベクトル空間に関する基本的な命題を紹介し、証明していきます。 これまたどれも当たり前に見えるものばかりですが、先程の8つの性質だけを前提として議論が進んでいることに注目してください。 証明をすべて読むのが大変な人は命題にだけ目を通して、あとで読み返すのもおすすめです。

以下ではベクトル空間を$V$とします。

公理の中で加法の単位元と逆元が存在することを言いましたが、それらは唯一であることが証明できます。 実はこの命題はスカラー倍とは関係なく、公理の1,2,3番だけから導けます。（1,2,3番を満たす代数系を「群」といいます。） つまり、この命題はベクトル空間だけでなく、より抽象的な代数系である群でも成り立つことになります。

逆ベクトルが一意的に定まることを証明できたので、これからは$\bm v$の逆ベクトルをよりわかりやすく$-\bm v$と書くことにします。

ところで逆ベクトルの逆ベクトルは何になるでしょうか。高校数学のベクトルを思い出せばすぐに答えがわかりそうですが、証明しておきます。

ベクトル空間には加法が定義されているとしましたが、高校数学ではあるベクトルから別のベクトルを引く計算もしました。 このような演算がどう定義されているのかを見ていきます。

命題4の$\bm z$、つまり$\bm u + (-\bm v)$をこれからはわかりやすく$\bm u - \bm v$と書くことにします。

ここからはスカラー倍が登場する命題を紹介します。スカラー倍が関係することから以下のものは先程までとは違い、群でも成り立つ性質ではなくベクトル空間特有の性質となります。

この章の最後の命題です。これまた当たり前のように見えますが、それぞれマイナスがかかっている範囲が異なります。 なので、これらが一致することを証明します。

3次元空間を全体としてその空間内のある平面に注目する状況のように、ベクトル空間の部分集合を考えることがあります。 このとき、部分集合もベクトル空間になっていると扱いやすいです。このような状況について考えてみましょう。

ところで「ベクトル空間になる」とは先程の公理を満たすことを意味します。 しかし、部分空間を考えるときに毎回8個の性質がすべて成り立つかを確認するのは大変です。 そこで、「部分空間である」と必要十分な条件を紹介します。

確認する条件が3つだけのシンプルな条件になりました。 これらが実際に必要十分条件になっていることの証明は以下の補足に記載してあります。

1番目が「変更可」になっているのは、どちらの条件を使っても3つ全体として等価だからです。 実際に、空集合でないことと3番目の条件から、$c = 0$とすると$\bm 0 \in W$が導けますし、 逆に$\bm 0 \in W$であれば$W$は空集合でないことが導けます。

また、2,3番目の条件も合わせて「変更可」になっています。こちらについても同値であることが証明できます。 気になる人は補足をご覧ください。

部分空間の例としてどのようなものが考えられるでしょうか。まず、$V$自身はベクトル空間$V$の部分空間です。 これは部分集合と同様の考え方です。また、ベクトル空間$V$の零ベクトル$\bm 0$だけからなる集合$\{\bm 0\}$も$V$の部分空間です。 後者を$V$の零部分空間といいます。

$V$からその部分空間をつくる基本的な方法について述べたのが次の命題です。 新出用語として、ベクトル空間$V$のベクトル$\bm v_1,$ $\bm v_2,$ $\cdots,$ $\bm v_n$とスカラー$c_1,$ $c_2,\cdots,$ $c_n(\in K)$に対して、 スカラー倍の和

\begin{align}&c_1\bm v_1+c_2\bm v_2+\cdots+c_n\bm v_n\\[0.7em]\end{align}

をベクトル$\bm v_1,$ $\bm v_2,$ $\cdots,$ $\bm v_n$の1次結合または線形結合といいます。

命題9の$W$を$\bm v_1,$ $\bm v_2,$ $\cdots,$ $\bm v_n$によって生成される、または、張られる部分空間といい、以下のように表します。

• $\langle\bm v_1,\bm v_2,\cdots,\bm v_n\rangle$
• $\mathrm{span}(\bm v_1,\bm v_2,\cdots,\bm v_n)$
• $S[\bm v_1,\bm v_2,\cdots,\bm v_n]$

また、$\bm v_1,$ $\bm v_2,$ $\cdots,$ $\bm v_n$を$W$の生成系といいます。

以上で説明する内容は終わりです、お疲れ様でした。それでは、ここまでの知識を使って部分空間かどうかの判定問題を解いてみます。

部分空間であるための必要十分条件を使って順番に確かめていきます。部分空間でない場合は反例を示しましょう。 解説のために小問$(i)$の部分集合を$W_i$とします。

$\mathbb{R}^3$の零ベクトルは$\bm 0 = (0,0,0)$です。この元は条件$2x-y+3z=0$を満たすので、$\bm 0 \in W_1$です。

$c_1,c_2 \in \mathbb{R},$ \(\bm u = (u_1,u_2,u_3),\) $ \bm v = (v_1,v_2,v_3) \in W_1$と仮定します。 まず$\bm u, \bm v \in W_1$より、

\begin{cases}2u_1-u_2+3u_3=0\\[0.5em]2v_1-v_2+3v_3=0\end{cases}

が成り立ちます。このとき、$c_1\bm u + c_2\bm v \in W_1$かどうかを調べます。

\begin{align}&c_1\bm u + c_2\bm v\\[0.7em]={}&c_1(u_1,u_2,u_3) + c_2(v_1,v_2,v_3)\\[0.7em]={}&(c_1u_1+c_2v_1,\ c_1u_2+c_2v_2,\ c_1u_3+c_2v_3)\end{align}

なので、$2x-y+3z$に代入すると、

\begin{align}&2(c_1u_1+c_2v_1)-(c_1u_2+c_2v_2)+3(c_1u_3+c_2v_3)\\[0.7em]={}&2c_1u_1+2c_2v_1-c_1u_2-c_2v_2+3c_1u_3+3c_2v_3\\[0.7em]={}&c_1(2u_1-u_2+3u_3)+c_2(2v_1-v_2+3v_3)\\[0.7em]={}&0\end{align}

となります。よって、条件$2x-y+3z=0$を満たすので、$c_1\bm u + c_2\bm v \in W_1$となり、$W_1$は$\mathbb{R}^3$の部分空間となります。

(1)の条件式の右辺が$1$になりました、このとき$2 \cdot 0-0+3 \cdot 0 \neq 1$より$\bm 0 \notin W_2$なので、$W_2$は$\mathbb{R}^3$の部分空間となりません。 このように条件式が定数項を含んでいると零ベクトルがその条件を満たさないのでベクトル空間にはなりません。

$\bm 0 = (0,0,0)$は条件$2x-y+3z \geqq 0$を満たすので、$\bm 0 \in W_3$です。

(1)と同様に$c_1,c_2 \in \mathbb{R},$ \(\bm u = (u_1,u_2,u_3),\) $ \bm v = (v_1,v_2,v_3) \in W_3$と仮定すると、

\begin{cases}2u_1-u_2+3u_3 \geqq 0\\[0.5em]2v_1-v_2+3v_3 \geqq 0\end{cases}

が成り立ちます。このとき、

\begin{align}&c_1\bm u + c_2\bm v\\[0.7em]={}&(c_1u_1+c_2v_1,\ c_1u_2+c_2v_2,\ c_1u_3+c_2v_3)\end{align}

を$2x-y+3z$に代入すると、

\begin{align}&2(c_1u_1+c_2v_1)-(c_1u_2+c_2v_2)+3(c_1u_3+c_2v_3)\\[0.7em]={}&c_1(2u_1-u_2+3u_3)+c_2(2v_1-v_2+3v_3)\end{align}

となります。これが$0$以上になっていれば部分空間であるといえるのですが、よく考えてみると$c_1$や$c_2$が負の数のときは怪しいです。

そこで反例を探してみると、\(c = -1,\) \(\bm v = (1,1,1)\)のとき$c \in \mathbb{R}$かつ$\bm v \in W_3$ですが、$c\bm v = (-1,-1,-1)$より$c\bm v \notin W_3$です。 したがって、$W_3$は$\mathbb{R}^3$の部分空間となりません。 このように条件式が不等式になっている場合もベクトル空間にはなりません。

$\bm 0 = (0,0,0)$は条件$x = 0$かつ$y = 0$を満たすので、$\bm 0 \in W_4$です。

ここまでと同様に$c_1,c_2 \in \mathbb{R},$ \(\bm u = (u_1,u_2,u_3),\) $ \bm v = (v_1,v_2,v_3) \in W_4$と仮定すると、

\begin{cases}u_1 = 0\\[0.5em]u_2 = 0\\[0.5em]v_1 = 0\\[0.5em]v_2 = 0\end{cases}

が成り立ちます。このとき、

\begin{align}&c_1\bm u + c_2\bm v\\[0.7em]={}&(c_1u_1+c_2v_1,\ c_1u_2+c_2v_2,\ c_1u_3+c_2v_3)\end{align}

なので、

\begin{cases}c_1u_1+c_2v_1 = c_1 \cdot 0 + c_2 \cdot 0 = 0\\[0.5em]c_1u_2+c_2v_2 = c_1 \cdot 0 + c_2 \cdot 0 = 0\end{cases}

となります。よって、条件$x = 0$かつ$y = 0$を満たすので、$c_1\bm u + c_2\bm v \in W_4$となり、$W_4$は$\mathbb{R}^3$の部分空間となります。

$xyz = 0$つまり、$x = 0$または$y = 0$または$z = 0$が条件です。

$\bm 0 = (0,0,0)$はこれを満たすので、$\bm 0 \in W_5$です。

$c_1,c_2 \in \mathbb{R},$ \(\bm u = (u_1,u_2,u_3),\) $ \bm v = (v_1,v_2,v_3) \in W_5$と仮定すると、

\begin{cases}u_1u_2u_3 = 0\\[0.5em]v_1v_2v_3 = 0\end{cases}

が成り立ちます。このとき、

\begin{align}&c_1\bm u + c_2\bm v\\[0.7em]={}&(c_1u_1+c_2v_1,\ c_1u_2+c_2v_2,\ c_1u_3+c_2v_3)\end{align}

について条件$xyz = 0$を満たすか考えます。一見成り立ちそうですが$\bm u$と$\bm v$で$0$である成分が異なる場合、 例えば\(\bm u = (0,1,1),\) $ \bm v = (1,0,0)$とすると、$\bm u, \bm v \in W_5$ですが、$\bm u + \bm v = (1,1,1)$より$\bm u + \bm v \notin W_5$です。 したがって、$W_5$は$\mathbb{R}^3$の部分空間となりません。

$\bm 0 = (0,0,0)$は条件$x^2+y^2-z=0$を満たすので、$\bm 0 \in W_6$です。

$c_1,c_2 \in \mathbb{R},$ \(\bm u = (u_1,u_2,u_3),\) $ \bm v = (v_1,v_2,v_3) \in W_6$と仮定すると、

\begin{cases}u_1^2+u_2^2-u_3=0\\[0.5em]v_1^2+v_2^2-v_3=0\end{cases}

が成り立ちます。このとき、

\begin{align}&c_1\bm u + c_2\bm v\\[0.7em]={}&(c_1u_1+c_2v_1,\ c_1u_2+c_2v_2,\ c_1u_3+c_2v_3)\end{align}

について条件$x^2+y^2-z=0$を満たすか考えます。係数があると計算が大変なので一旦$c_1=c_2=1$として$x^2+y^2-z$の値を計算すると、

\begin{align}&x^2+y^2-z\\[0.7em]={}&(u_1+v_1)^2+(u_2+v_2)^2-(u_3+v_3)\\[0.7em]={}&(u_1^2+2u_1v_1+v_1^2)+(u_2^2+2u_2v_2+v_2^2)-(u_3+v_3)\\[0.7em]={}&(u_1^2+u_2^2-u_3)+(v_1^2+v_2^2-v_3)+2u_1v_1+2u_2v_2\\[0.7em]={}&2(u_1v_1+u_2v_2)\end{align}

となります。この残った$2(u_1v_1+u_2v_2)$の影響で$\bm u, \bm v$の値によっては$x^2+y^2-z$が$0$以外になることもあります。 実際に$\bm u = (1,1,2),$ $\bm v = (1,2,5)$とすると、$\bm u, \bm v \in W_6$ですが、$\bm u + \bm v = (2,3,7)$より$\bm u + \bm v \notin W_6$です。 したがって、$W_6$は$\mathbb{R}^3$の部分空間となりません。

このように条件式が2次以上になっている場合もベクトル空間にはなりません。

続いて2問目です。高校数学で学んだ「共通部分」や「和集合」が登場します。

$W_1,W_2$が具体的に決められておらず抽象的なので難しく感じるかもしれません。 しかし、部分空間かどうかの判別なのでやることは同じです。

$W_1$も$W_2$もベクトル空間$V$の部分空間なので、その零ベクトル$\bm 0$を含みます。つまり、$\bm 0 \in W_1$かつ$\bm 0 \in W_2$です。 したがって、$\bm 0 \in W_1 \cap W_2$です。

また、$\bm u, \bm v \in W_1 \cap W_2$と仮定すると、$\bm u, \bm v \in W_1$かつ$\bm u, \bm v \in W_2$です。 ここで、$W_1,W_2$が部分空間であることから任意のスカラー$c_1,c_2$に対して、$c_1\bm u+c_2\bm v \in W_1$かつ$c_1\bm u+c_2\bm v \in W_2$が成り立ちます。 よって、$c_1\bm u+c_2\bm v \in W_1 \cap W_2$となります。

以上から、$W_1 \cap W_2$は$V$の部分空間といえます。

ちなみに例題1の(4)（$x = 0$かつ$y = 0$）はこの具体例であり、たしかに部分空間となっています。

共通部分と同様に$\bm 0 \in W_1 \cup W_2$といえます。

ここでわかりやすくするために具体例を考えてみます。例題1のように$V = \mathbb{R}^3$として、(4)の「かつ」を「または」に変えた「$x = 0$または$y = 0$」を考えてみます。 するとこれは$yz$平面と$zx$平面の和集合になります。

ここで、それぞれの平面からベクトルを持ってきて和をとってみます。 $\bm u = (0,1,1),$ $\bm v = (1,0,1)$とすると、$\bm u + \bm v = (1,1,2)$となります。 よく見るとこれは条件「$x = 0$または$y = 0$」を満たしていません。よって、$W_1 \cup W_2$は常には$V$の部分空間ではありません。

今回考えた具体例のように例題1の(5)（$xyz=0$）もこの具体例であり、たしかに部分空間ではありません。

$\bm 0 \in W_1$かつ$\bm 0 \in W_2$と、$\bm 0 + \bm 0 = \bm 0$より、$\bm 0 \in W_1 + W_2$です。

$\bm u, \bm v \in W_1 + W_2$と仮定すると、あるベクトル$\bm w_1,\bm w_1^{\prime} \in W_1,$ $\bm w_2,\bm w_2^{\prime} \in W_2$を用いて、

\begin{cases}\bm u = \bm w_1 + \bm w_2\\[0.5em]\bm v = \bm w_1^{\prime} + \bm w_2^{\prime}\end{cases}

と表せます。よって、任意のスカラー$c_1,c_2$に対して、

\begin{align}&c_1\bm u + c_2\bm v\\[0.7em]={}&c_1(\bm w_1 + \bm w_2) + c_2(\bm w_1^{\prime} + \bm w_2^{\prime})\\[0.7em]={}&(c_1\bm w_1 + c_2\bm w_1^{\prime}) + (c_1\bm w_2 + c_2\bm w_2^{\prime})\end{align}

となります。ここで、$W_1,W_2$は部分空間なので、$c_1\bm w_1 + c_2\bm w_1^{\prime} \in W_1$かつ$c_1\bm w_2 + c_2\bm w_2^{\prime} \in W_2$です。 したがって、$c_1\bm u + c_2\bm v \in W_1 + W_2$が成り立ちます。

以上から、$W_1 + W_2$は$V$の部分空間といえます。名前が和空間となっているように部分空間同士の和はこのように定義します。もしも(2)のように定義してしまうと、和が部分空間にならなくなってしまうからです。 それぞれの部分空間に含まれるベクトルのすべてのパターンの和を集めた集合を考える必要があります。

今回の内容をまとめると、

1. ベクトル空間とは体$K$と空でない集合$V$上に加法とスカラー倍という2つの演算が定義されていて、8つの性質（ベクトル空間の公理）を満たすもの。
2. $W$が$V$の部分空間であるとは、ベクトル空間$V$の空でない部分集合$W$が、$V$における加法とスカラー倍によりベクトル空間になることで、部分空間であるための必要十分条件により判別できる。
3. $c_1\bm v_1+\cdots+c_n\bm v_n$をベクトル$\bm v_1,\cdots,\bm v_n$の1次結合または線形結合という。
4. 成分の条件式の形で表された集合がベクトル空間かどうかを判別するときは定数項を含まない、$=0$の形かつ（連立）1次式になっていることが目安。（加法やスカラー倍は自然なものとする。）
5. 部分空間の共通部分と和空間は部分空間になる。和集合は必ずしも部分空間にならないので注意。

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