対称式を利用した式の値の求め方

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5. 第5回 対称式を利用した式の値の求め方

最終更新日: 2024年3月27日

この記事では、高校数学の式の値問題頻出パターンである対称式・次数下げ・比例式の3つを紹介した後に、そのうちの1つである対称式を利用した問題について解説します。

式の値を求める問題は中学数学でも出てきます。例えば、\(a=3,\) \(b=-2\)のとき、 \(3(a+2b)-2(2a+b)\)の値は？というような問題です。 この問題を解くときはまず式を整理して、次に\(a,\ b\)の値を代入します。

一方、高校数学では素直に代入するだけの問題は少なく、「各文字の値を求めずに工夫して計算する」場合がほとんどです。 例えば、先程の問題では\(a\)と\(b\)の値が与えられていましたが高校数学ではこのような例は少ないです。

ではどのように工夫すればよいのでしょうか。よく出題されるパターンは次の3つです。

今回の記事では対称式を利用する問題を扱います。次数下げは次回、比例式は「比例式（準備中）」で解説するので気になる人はこちらをご覧ください。

対称式について詳しく知りたい人は「対称式・交代式まとめ（準備中）」をどうぞ

対称式の復習です。対称式とはどの2つの文字を交換しても、元の式と同じになる多項式のことで、性質として基本対称式で1通りに表すことができます。

この性質を利用し、条件式と値を求める式がともに対称式のときは基本対称式を軸にして考えます。よく出題される2文字の対称式を基本対称式で表した一覧がこちらです。

1, 2の覚え方ですが、\(n\)乗の和は和の\(n\)乗から余分な部分を引きます。このように対称式の変形では、展開すると元の式の項が出てくるものを考えて、そのあとに余分な部分を引く考え方をよく使います。

3について、左辺の中に\(x-y\)が含まれていることがポイントです。2文字の対称式では基本対称式の\(x+y,\) \(xy\)に加えて、\(x-y\)も使って考える場面が多いので覚えておきましょう。

さらに、1, 3の式は右辺にあるものを求めるときにもよく使います。どういうことかというと、1を\(xy\)を求めるために利用したり、3を\(x+y\)を求めるために利用したりします。このあと例題を見ながら確認していきます。

1の変形を利用して\(ab\)を求めるパターンです。

\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\)より

\begin{align} ab=&\frac{1}{2}\{(a+b)^2-(a^2+b^2)\}\\[0.7em] =&\frac{1}{2}(5^2-21)\\[0.7em] =&2 \end{align}

これで基本対称式\(a+b,\) \(ab\)の値が求まりましたね。

基本対称式の値が分かったので2の変形を利用して値を求めましょう。

\begin{align} &a^3+b^3\\[0.7em] =&(a+b)^3-3ab(a+b)\\[0.7em] =&5^3-3 \cdot 2 \cdot 5\\[0.7em] =&95 \end{align}

\(5\)乗の和は変形一覧にありませんでした。 \(2,\ 3\)乗の場合から類推すると、和の\(5\)乗から余分な部分を引く方法が考えられますが、項が多くて計算量が膨大になりそうです。

そこで、今までに値がわかっている式を使って\(a^5+b^5\)を作り出し、余分な部分を引くことを考えます。

\begin{align} &a^5+b^5\\[0.7em] =&(a^2+b^2)(a^3+b^3)-a^2 b^3-b^2 a^3\\[0.7em] =&(a^2+b^2)(a^3+b^3)-(ab)^2(a+b)\\[0.7em] =&21\times95-2^2\times5\\[0.7em] =&1975 \end{align}

この問題を基本対称式にまで直して計算した例を載せておくので気になる人は見てみてください。

3の変形を使って求めましょう。ここで、\(a>b\)の条件を使います。

\begin{align} &(a-b)^2\\[0.7em] =&(a+b)^2-4ab\\[0.7em] =&5^2-4\times2\\[0.7em] =&17 \end{align}

\(a>b\)より、\(a-b\)は正なので\(a-b=\sqrt{17}\)となります。

続いて1文字なのに2文字の対称式の考え方を使う問題を見てみます。

対称式どころか文字が１つしかありません。しかし、\(x\)の\(1\)次の項と\(-1\)次の項をペアとして見るとどうでしょうか。 試しに\(y=\dfrac{3}{x}\)とおいてみると\(xy=3\)となり、対称式の利用が見えてきます。ペアとして見た理由は積が定数になるからです。

そうなると、基本対称式\(x+y\)\(\left(=x+\dfrac{3}{x}\right)\)の値がほしいところです。ここで「2文字の対称式の変形一覧」の3番を思い出しましょう。 問題文で\(x-y\left(=x-\dfrac{3}{x}\right)\)の値が与えられているのでこれを利用すれば求められそうです。

\begin{align} &\left(x+\frac{3}{x}\right)^2\\[0.7em] =&\left(x-\frac{3}{x}\right)^2+4x\cdot\frac{3}{x}\\[0.7em] =&20 \end{align} \[x < 0\text{より、}x+\frac{3}{x}=-2\sqrt{5}\]

基本対称式に対応する\(x+\dfrac{3}{x}\)と\(x\cdot\dfrac{3}{x}\)さらに\(x-\dfrac{3}{x}\)の値がわかったのでこれらの値を利用して解いていきます。 「基本対称式の値を求める→対称式を基本対称式で表して、求めた値を代入する」という流れを掴みましょう。

まず、次数を見てペア分けします。すると、\((x-y)+\)\((x^2-y^2 )+\)\((x^3-y^3)\)の形が見えてくるので、あとは上の3つの値が使えるように式を変形しましょう。

\begin{align} &x+x^2+x^3-\frac{3}{x}-\frac{9}{x^2}-\frac{27}{x^3}\\[0.7em] =&\left(x-\frac{3}{x}\right)+\left(x^2-\frac{9}{x^2}\right)+\left(x^3-\frac{27}{x^3}\right) \tag{1}\\[2.4em] &x^2-\frac{9}{x^2}\\[0.7em] =&\left(x+\frac{3}{x}\right)\left(x-\frac{3}{x}\right)\\[0.7em] =&-2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2}=-4\sqrt{10} \tag{2}\\[2.4em] &x^3-\frac{27}{x^3}\\[0.7em] =&\left(x-\frac{3}{x}\right)^3+3x \cdot \frac{3}{x} \left(x-\frac{3}{x}\right)\\[0.7em] =&(2\sqrt{2})^3+9\cdot 2\sqrt{2}\\[0.7em] =&34\sqrt{2} \tag{3}\\[2.4em] \end{align} \[x-\frac{3}{x}=2\sqrt{2},\ \text{(2), (3)を(1)に代入して}\] \begin{align} &x+x^2+x^3-\frac{3}{x}-\frac{9}{x^2}-\frac{27}{x^3}\\[0.7em] =&2\sqrt{2}+(-4\sqrt{10})+34\sqrt{2}\\[0.7em] =&36\sqrt{2}-4\sqrt{10} \end{align}

それでは次に3文字の場合を見ていきましょう。

4は2文字のときの1, 2と同じように覚えることができます。補足としてもう一つの基本対称式\(abc\)の値を使わないことを頭の片隅に入れておくと良いでしょう。

5は\(a^3+b^3+c^3-3abc\)の因数分解公式で\(-3abc\)を移項した形です。右辺に\(a^2+b^2+c^2\)が含まれているので、4を使ってこの値を求めてから使いましょう。

6は通分しただけですが、逆数の和は意外と初手が分かりづらいので載せておきました。

それでは3文字の場合の例題です。

4の変形をそのまま使います。

\begin{align} &a^2+b^2+c^2\\[0.7em] =&(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)\\[0.7em] =&(\sqrt{3}+1)^2-2(\sqrt{3}-2)=4+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}+4\\[0.7em] =&8 \end{align}

(1)で\(a^2+b^2+c^2\)の値を求めたので、5の変形を使って値を求めましょう。

\begin{align} &a^3+b^3+c^3\\[0.7em] =&(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc\\[0.7em] =&(\sqrt{3}+1)\{8-(\sqrt{3}-2)\}+3 \cdot 2\\[0.7em] =&(\sqrt{3}+1)(10-\sqrt{3})+6\\[0.7em] =&7+9\sqrt{3}+6\\[0.7em] =&13+9\sqrt{3} \end{align}

これも6の変形をそのまま使います。初手の通分さえわかれば簡単です。

\begin{align} &\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\\[0.7em] =&\frac{ab+bc+ca}{abc}\\[0.7em] =&\frac{\sqrt{3}-2}{2} \end{align}

最後は変形一覧にない形が出てきました。なので、例題1の(3)のように基本対称式と今までに求めた式を使って表せるように変形しましょう。

\(\dfrac{1}{a^2} =\left(\dfrac{1}{a}\right)^2\)と考えることと、変形一覧を見て真似できないか考えてみることがカギとなります。

\begin{align} &\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\\[0.7em] =&\left(\frac{1}{a}\right)^2+\left(\frac{1}{b}\right)^2+\left(\frac{1}{c}\right)^2\\[0.7em] =&\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\\[0.7em] =&\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-2\cdot \frac{a+b+c}{abc}\\[0.7em] =&\left(\frac{\sqrt{3}-2}{2}\right)^2-2\cdot\frac{\sqrt{3}+1}{2}\\[0.7em] =&\frac{7-4\sqrt{3}}{4}-\frac{4(\sqrt{3}+1)}{4}\\[0.7em] =&\frac{3-8\sqrt{3}}{4} \end{align}

\(\dfrac{1}{a^2} =\left(\dfrac{1}{a}\right)^2\)と考えることで4番の形が見えてきました。そして逆数の和が出てきたときに通分していることもポイントです。

今回の内容をまとめると、

1. 高校数学の式の値問題は各文字の値を代入するのではなく、工夫して計算する問題がほとんど
2. 条件式・値を求める式がともに対称式のときは基本対称式を軸にして考える
3. 2文字の場合は\(x-y\)も使って考える
4. 後半の問題は前の問題の答えを利用することがある。頻出は\(x^5+y^5\)
5. 逆数の和はまず通分

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