因数分解の意義と考え方

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最終更新日: 2024年3月27日

この記事では因数分解がどのように役立つのかその意義を解説します。そして、因数分解ができるようになるために、どのように考えて答えへの見当をつけるのか・具体的にどのように解くのかを解説します。

展開の逆操作として習う因数分解ですが、実は非常に役立つ式変形です。その理由は次のことが成り立つからです。

直感的には当たり前ですが、この性質から因数分解は非常に有用な操作になります。なぜなら、問題が扱いやすくなるからです。 まず、一般に数式は次数の低い方が扱いやすいです。因数分解すると式の次数が下がります。（厳密には元の式の次数以下になる。） そして、先程の性質より\(=0\)となっている式を因数分解することができれば、その因数のいずれかが\(0\)だということができます。 つまり、\(AB=0\)という式をより次数の低く、扱いやすい\(A=0\)または\(B=0\)という問題に言い換えることができます。

思い返してみると、2次方程式を因数分解で解くときも、因数分解後は1次方程式を解いていて、問題が扱いやすくなっています。 このように考えると、例えば4次方程式があったとしても(2次式)\(\times\)(2次式)の形に因数分解できれば、それぞれの2次方程式を解くことによって4次方程式が解けることがわかります。

また、整数分野では「かけてある数になる整数の組は探しやすい」ことから因数分解が大活躍します。 例えば足して7になる整数組は無限にありますが、かけて7になる整数組は\(\{1, 7\},\) \(\{-1, -7\}\)の2組しかありません。 これを使うと「\(x^2-y^2=7\)を満たす整数\(x,y\)は？」という問題に対して因数分解することで候補を絞れることがわかります。（答えは\(x=\pm4,\) \(y=\pm3\)（複合任意））

このように、因数分解は展開の逆操作であるだけでなく、さまざまな問題で役に立ちます。というわけでどのように因数分解するのかこの記事で学んでいきましょう。

展開の公式を逆向きに使えば因数分解の公式になります。公式の解説や覚え方などは前回の「10個の展開公式と計算の工夫」にまとめてあるのでそちらをどうぞ。今回は復習として一覧を再掲載します。

展開では出番少なめの7, 8, 10も因数分解ではよく登場します。

因数分解の考え方を紹介する前に公式を使う練習をします。公式に当てはめるだけですが、慣れが必要なものや見落としがちなものがあるので例題を見ていきましょう。

因数分解をするときはまず式全体を見てどのようなパターンか調べます。今回は公式を使う事が分かっていますが、このような式を見たときにパッと公式の形をしていることに気付くことが重要です。

また、すぐ公式を使う前に共通因数が無いかも確認しましょう（たすき掛けをする前に全体が2でくくれないか確認など）。

たすき掛けを利用します。掛けて4になる2数と10になる2数を考えて、たすき掛けにより3となるような組み合わせを見つけます。やることはこれだけですが、数によっては効率的に考えないと意外と時間がかかります。記事の分量の観点から別記事にまとめたので詳しくは「たすき掛け最適化（準備中）」をご覧ください。

\[4x^2+3x-10=(x+2)(4x-5)\]

(2)もたすき掛けです。2つの文字があって見にくいですが\(x\)について整理し、\((15x^2-8yx-12y^2)\) \(y\)を数字のように捉えて掛けて15になる2数と\(-12y^2\)になる2数を考えて、たすき掛けにより\(-8y\)となる組み合わせを見つけます。

考え方は(1)と同様ですが、この問題のようにある文字について整理し、他の文字を数字のように捉えて、たすき掛けを利用する方法はよく使われるので慣れておきましょう。

\[15x^2-8xy-12y^2=(3x+2y)(5x-6y)\]

(3)は因数分解の公式6の形をしています。5, 6の形に気付くポイントとしては項が4つあり、最初と最後が何かの3乗になっていることです。このような場合は「公式が使えるのでは？」と考えてみましょう。

例えば今回の場合では最初の項が\(2x\)の3乗、最後の項が\(-3\)の3乗なので、\((2x-3)^3\)なのでは？と答えを予想します。そしてこれを展開して問題の式に一致するかチェックする方法が速くて確実です。

\[8x^3-36x^2+54x-27=(2x-3)^3\]

3乗の和になっているので公式がそのまま使えます。慣れていないと、1が立方数であることを見逃すので注意してください。

\[64x^3+1=(4x+1)(16x^2-4x+1)\]

この5問の中で一番、公式の形であることを見逃しやすいので注意してください。10番目の公式の形ですが、1が登場することで見逃しやすくなっています。

理由は、(4)で述べたように1が立方数であることを見逃すことに加えて、公式の\(-3abc\)の部分の文字が1つ減るので見た目が分かりづらくなるからです（今回は\(9xy\)の部分が\(-3abc\)に対応する部分です）。しかも、この問題は項の順番が入れ替えられているのでとても見逃しやすいです。

\begin{align}&x^3+9xy-27y^3+1\\[0.7em]={}&x^3+(-3y)^3+1^3-3\cdot x\cdot(-3y)\cdot1\\[0.7em]={}&(x-3y+1)(x^2+9y^2+1+3xy+3y-x)\\[0.7em]={}&(x-3y+1)(x^2+3xy+9y^2-x+3y+1)\end{align}

公式を使う練習をしたところで、因数分解の考え方を見ていきます。どの問題を解くときも意識して欲しいことが2つあります。

いきなり問題を解く前にパターンを調べておくと解答への道が見えやすくなります。広く使えるパターンの調べ方として次の2点に注目しましょう。

例題1でまず公式が使える形かを調べましたが、同じようにまずは文字の数と次数で数式の特徴をつかみます。これによりどんな解き方をすれば良いのかイメージしやすくなります。具体的には以下の2点を調べます。

1. 文字の数は1文字か2文字以上か
2. 次数（2文字以上の場合は最低次の文字の次数）が2次以下か3次以上か

これにより4つのパターンに分けることができます。そして、それぞれについてよくある問題をまとめたものが下の表です。

言葉だけではイメージが湧かないので実際に例題を見ていきます。表で下線がついているのものは式の形が特徴的なものです。これらについては次回の記事で解説します。

また、因数定理を利用する問題については「剰余の定理・因数定理（準備中）」にまとめているのでそちらをご覧ください。

共通因数でくくるのは因数分解の基本です。また、共通因数としてくくれなくても共通部分が解答へのカギになることもあります。式をよく見て、共通因数・共通部分を探す＆作る意識を持ちましょう。特に共通部分は次の形が頻出なので意識しましょう。

共通因数は無いけど共通部分はあって惜しいなというときはこの形を疑ってみてください。

まず、1文字の場合について解説します。因数定理を利用する問題を除くと1文字の問題の出題は少なめですが、2文字以上のときにも使える考え方の紹介や基本的な部分の確認をしていきます。

たすき掛けなどを使って解きましょう。ここで確認しておきたいのは因数分解可能か調べる方法です。例えば、問題を解いていった結果\(x\)の2次式が因数に現れたときにさらに因数分解できるのか調べなければなりません。（有理数の範囲で）因数分解できる条件は次のとおりです。

因数分解して答えだと思ったら実はまだ因数分解できたということが起きないように注意しましょう。「因数分解可能か調べる」についてはこちらの記事もどうぞ→「アイゼンシュタインの定理（準備中）」

\(x\)の3次式や4次式を因数分解する場合は因数定理を使うことが多いですが、使わない場合としては一部を展開してから因数分解する問題がよく出題されます。解くときの発想は展開のときにも出てきた「計算する組み合わせを考える」と「共通部分をまとめる」です。例題を解いて確認していきます。

\(x\)についての4次式なので、すべて展開してしまうと大変そうです。そこで計算する組み合わせを考えて、共通部分を作れないか調べてみます。また、その後は先程の「共通部分はこの形を狙う」が使えそうです。

\begin{align}&(x+4)(x-1)(x+3)(x-2)+6\\[0.7em]={}&(x+4)(x-2)(x-1)(x+3)+6\\[0.7em]={}&(x^2+2x-8)(x^2+2x-3)+6\\[0.7em]={}&(x^2+2x)^2-11(x^2+2x)+30\\[0.7em]={}&(x^2+2x-5)(x^2+2x-6)\end{align}

答えを出したら、これ以上因数分解できないか\(b^2-4ac\)で忘れずに確認しましょう。

(1)と同様\(x\)の4次式です。(1)を参考にして解きたいところです。ただし、この問題は2箇所捻ってあります。1つ目はこのまま展開しても共通部分を作るのが苦しそうな点に注目しましょう。そして2つ目は…

\begin{align}&(x^2+2x-35)(x^2+6x-27)+143\\[0.7em]={}&(x+7)(x-5)(x+9)(x-3)+143\\[0.7em]={}&(x+7)(x-3)(x-5)(x+9)+143\\[0.7em]={}&(x^2+4x-21)(x^2+4x-45)+143\\[0.7em]={}&(x^2+4x-21)\{\mathbf{(x^2+4x-21)-24}\}+143\\[0.7em]={}&(x^2+4x-21)^2-24(x^2+4x-21)+143\\[0.7em]={}&(x^2+4x-21-11)(x^2+4x-21-13)\\[0.7em]={}&(x^2+4x-32)(x^2+4x-34)\\[0.7em]={}&(x+8)(x-4)(x^2+4x-34)\end{align}

1つ目は最初に因数分解をするのがポイントで、これにより(1)の形になりました。同じように進むと思いきや共通部分を作るときに\(-21\)まで含めています。なぜこのようなことをするかというと\(-21\)を含めない場合、たすき掛けの数字が大きくなり計算が大変になります。そのためこのような工夫をしています。これが2つ目のポイントでした。あとは\((x^2+4x-32)\)で終わらないように注意してください。

共通部分を作り出すように一部を展開してから因数分解する発想は2文字以上でも使えることがあります。次の問題を見てみましょう。

2文字以上のときの一般的な解き方は後で説明しますが、この問題は共通部分を利用して綺麗に解くことができます。どう展開したら共通部分が作れるか考えましょう。

\begin{align}&(x+1)(y+1)(xy+1)+xy\\[0.7em]={}&(xy+x+y+1)(xy+1)+xy\\[0.7em]={}&\{(xy+1)+x+y\}(xy+1)+xy\\[0.7em]={}&(xy+1)^2+(x+y)(xy+1)+xy\\[0.7em]={}&(xy+x+1)(xy+y+1)\end{align}

少し見づらいですが\(xy+1\)が共通部分となっています。ここでも\(a(共通部分)^2+b(共通部分)+c\)の形が利用できました。

次に、2文字以上の場合について解説します。因数分解の問題では、こちらの方が1文字に比べてよく出題されます。2文字以上のときはまず次の原則を意識しましょう。

次数を調べる際に2文字以上の場合は最低次の文字の次数と書いたのはこのためです。この原則には2つの意味があります。1つ目は2文字以上の場合、ある文字を主文字としてその文字について整理し、他の文字は数字のように扱うということ、2つ目はその主文字は解きやすくするために最低次の文字を選ぶべきだということです。

ここで、例題１の(2)を思い出してみましょう。（\(15x^2-8xy-12y^2\)） この問題では\(x\)を主文字として整理し、\(x\)の2次式と捉えてたすき掛けをしました。一方でこの式は\(y\)についても2次となっています。なので、「補足｜\(y\)について整理したらどうなるのか」で述べたように\(y\)について整理しても問題ないです。このように最低次の文字が複数ある場合は次数の観点からはどちらを選んでも問題ありません。

整理した後は1文字の場合と同じように考えましょう。最低次の文字が2次の場合はたすき掛けの利用、3次以上の場合は共通因数をくくる流れになることが多いです。

\(x\)の主文字感が凄いですが騙されてはいけません。最低次の文字であるaについて整理します。

\begin{align}&x^3-(a+5)x^2+(5a+6)x-6a\\[0.7em]={}&-(x^2-5x+6)a+x^3-5x^2+6x\\[0.7em]={}&-(x^2-5x+6)a+x(x^2-5x+6)\\[0.7em]={}&(x^2-5x+6)(-a+x)\\[0.7em]={}&(x-2)(x-3)(x-a)\end{align}

2文字の2次式で2元2次式と呼ばれる形です。たすき掛けを2回するのが特徴的です。次数は\(x\), \(y\)のどちらも同じですが、2回目のたすき掛けがやや膨れることを考えてどちらの文字について整理するか決めましょう。

\begin{align}&4x^2-4xy+y^2+16x-8y+15\\[0.7em]={}&y^2+(-4x-8)y+4x^2+16x+15\\[0.7em]={}&y^2+(-4x-8)y+(2x+3)(2x+5)\\[0.7em]={}&(y-2x-3)(y-2x-5)\\[0.7em]={}&(2x-y+3)(2x-y+5)\end{align}

2元2次式のときは1回目より2回目のたすき掛けの方が大変です。そのときに2乗の部分の係数が1などの簡単な数だと考えやすいです。なので、\(x^2\)と\(y^2\)の項を比べて係数が簡単な方の文字で整理するのが良いでしょう。また、2元2次式は高校数学の様々な場面で登場します。それらを一覧にした「2元2次式まとめ （準備中）」もあるので興味のある人はご覧ください

例題3で出てきた問題です。今度は2文字以上のときの原則通り解いてみたいと思います。先程の解答と見比べてみてください。

\begin{align}&(x+1)(y+1)(xy+1)+xy\\[0.7em]={}&y(y+1)x^2+\{(y+1)+y(y+1)+y\}x+(y+1)\\[0.7em]={}&\{yx+(y+1)\}\{(y+1)x+1\}\\[0.7em]={}&(xy+x+1)(xy+y+1)\end{align}

3文字で3次といかつい形をしていますが、原則通りで大丈夫です。共通因数を作り出すことと、くくった後にもう一度落ち着いて式を見るのがポイントです

\begin{align}&a^3(c-b)+b^3(a-c)+c^3(b-a)\\[0.7em]={}&(c-b)a^3+(b^3-c^3)a-(b^3c-bc^3)\\[0.7em]={}&(c-b)a^3+(b-c)(b^2+bc+c^2)a-bc(b+c)(b-c)\\[0.7em]={}&(b-c)\{-a^3+(b^2+bc+c^2)a-bc(b+c)\}\\[0.7em]={}&(b-c)\{(a-c)b^2+(ac-c^2)b-a^3+c^2a\}\\[0.7em]={}&(b-c)\{(a-c)b^2+c(a-c)b-a(a+c)(a-c)\}\\[0.7em]={}&(b-c)(a-c)\{b^2+cb-a(a+c)\} \text{（←このあと、たすき掛けに行ってもいい）}\\[0.7em]={}&(b-c)(a-c)\{(b-a)c+b^2-a^2\}\\[0.7em]={}&(b-c)(a-c)(b-a)(c+b+a)\\[0.7em]={}&(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\end{align}

各項で因数分解をすることで共通因数を作り出せました。\(b-c\)でくくった後、中括弧の中をよく見ると最低次の文字は\(b\), \(c\)になっているのでここで整理し直すのがポイントです。

考え方がわかれば作業で解ける問題でしたが、テストで出題されると結構時間を取られます。時短できるいい方法はないのでしょうか。式をもう一度観察すると、最初の形も因数分解した形も非常に整っています。次回の記事ではこのような式に特徴がある形の因数分解について解説します。