必要条件・十分条件と命題の証明方法(前編)
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今回は「集合と命題」分野でよく出題される必要条件・十分条件の紹介といろいろな形の命題の証明方法を解説します。分かりにくいところは直感的な説明を加えていきます。基礎から細かな注意点まで網羅したことでボリュームが多く、前後半に分かれていますが、最後まで読んでいただけると嬉しいです。
目次
1. 命題「 ならば 」
目次
数学でよく出てくる命題の形として「
必要条件・十分条件と集合の包含関係
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まず、2つの条件を用意します。ここでは
このとき条件
さらにこの命題が真であるとき2つの条件にはそれぞれ特別な名前が付きます。
条件
集合との関係も見てみましょう。条件

身近な場面で考える必要条件・十分条件
目次この必要条件・十分条件を問う問題が頻出なのですが、初めはイメージがつかみにくいので日常の場面で考えてみましょう。
例えばお店に入って飲み物を注文する場面を考えます。あなたは注文する飲み物の候補を考えています。 まずその日は寒かったので、温かい飲み物から選ぶ必要があると考えました。そして候補になる条件はいろいろありますが、 特に期間限定メニューが気になっていたので、期間限定メニューの温かい飲み物であれば候補として十分だと考えました。
ここまでの流れを整理してベン図にすると下の図のようになります。

イメージとしては、温かい飲み物であることは注文候補であることの「より大まかな・緩い・粗い」条件で、 反対に期間限定の温かい飲み物であることは注文候補であることの「より具体的な・厳しい・細かい」条件といったところでしょうか。
この「より大まかな・緩い・粗い」・「より具体的な・厳しい・細かい」がそれぞれ「必要」・「十分」に対応します。
つまり、


必要十分条件と集合の相等
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さらに、このとき条件
先程と同様に集合との関係も見てみましょう。条件

導出から分かるように
命題「 ならば 」の注意点1
目次
ここまでは厳密に「すべての
A. 厳密にはその通りです。とても鋭い質問なのでここまで気になった人はよく勉強していると思います。
高校数学で考える場面はほとんどありませんが、条件「
この条件の真理集合をベン図で表すと下の図のようになります。

そして、この条件が「すべての

命題「 ならば 」の注意点2
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今までと同様に条件
(例)「
(補足)このとき、命題「
また、集合との関係を確認すると
2. 命題の証明方法
目次ここまでに様々な形式の命題を見てきました。ここではその証明方法を解説します。 ところで、「すべての」が付いた命題を全称命題、「ある」がついた命題を存在命題といいます。 この用語を覚える必要はないですが、説明を簡潔にするために解説で使用します。
直接証明法と間接証明法
目次命題を証明するのに、順に正しい推論を進め、証明する素直な方法を直接証明法といいます。これに対して、間接的に結論を導く方法を間接証明法といいます。 具体的には今から説明する背理法と後編の記事「必要条件・十分条件と命題の証明方法 (後編)」で登場する対偶証明法があります。
背理法とは命題が真であることを証明するのに、その命題が成り立たない(=偽である)と仮定して矛盾を導くことで命題が成り立つ(つまり、真である)ことを証明する方法です。 最初は分かりづらい考え方なので、一旦例題を見てみましょう。
(補足)間接証明法には他にも転換法・同一法などがあります。ほとんど使われませんが、数学Ⅰの 「2次方程式・不等式を解く(準備中)」で転換法を使う例が登場するので気になる人はご覧ください。
この例題を解いて背理法がどんなものか見てみましょう。はじめに、偽であると仮定するということはもとの命題を否定しましょう。
つまり、「
ここから矛盾を示す方法はそれぞれの問題によって慣れが必要です。 今回の問題は頻出問題でしかも「有理数」の扱い方が学べるので解答の流れを頭に入れておきましょう。
まず、有理数であることをどのように数式で表すかが問題です。定義に戻って考えると有理数とは分数の形に表される数なので、
約分がこれ以上できない形としたのに議論を進めていくと約分ができてしまうことになるという矛盾を示します。解答は次のようになります。
(スマホでは横持ち推奨)
-
が有理数であると仮定すると、 は自然数 を用いて次のように表される。このとき,
から ⋯⋯①
よって, は偶数であり, も偶数である。⋯⋯(注)
したがって, ( は自然数)⋯⋯② と表される。②を①に代入すると
よって, は偶数であり, も偶数である。つまり,
も も偶数となるが, これは が既約分数であることに矛盾する。
したがって, は無理数である。(注)厳密には「
が偶数であるならば, も偶数である」を証明する必要があります。この命題の証明には次回学習する対偶証明法を使います。
背理法はもとの命題を否定したものを仮定することと、
有理数は
ところで、この背理法はどこで使えるのかを見極めるのが難しいです。 なので、この前編後編が終わった次の記事「背理法の使い時まとめと複数の文字を含む条件」でまとめたので気になる人はご覧ください。
また、この問題にはいくつか別解があるので興味のある人は見てみてください。 さらなる別解は「無理数まとめ3選(準備中)」に掲載しています。
このとき,
しかし, 2乗に注目すると
したがって,
この解法は素因数分解の一意性を利用して矛盾を示しています。
このとき, 解答に示したように
つまり、自然数
しかし, 自然数には最小値1が存在するのでこれは矛盾です。
したがって,
この解答は無限降下法と呼ばれる手法を用いて矛盾を示しています。 無限降下法について詳しく知りたい方は「無限降下法(準備中)」をご覧ください。
全称命題の証明方法
目次ここからは命題の中でも「すべての」が付いた全称命題と「ある」が付いた存在命題の真偽の証明方法を詳しく見ていきます。
まず、全称命題「すべての
先程の説明をよく見ると
全称命題の証明は厳密には次のように考えます。
- 全体集合
の不特定の要素 を変数 に代入して、命題 を考えます。 - 命題
が真であることを証明します。
こうすれば、全体集合
このような背景から「
普段はあまりしませんが、偽であることを証明するときもあります。これは簡単で、「すべての」が間違っていることが示すには例外が存在することを示せばいいです。 この例外を反例といいます。
また、先程学んだ背理法を用いて真であることを証明する場合は偽であることを仮定して矛盾を導くので、 反例が存在すると仮定して矛盾が生じることを示します。
全称命題の真偽を答えるときは、まず反例がないか簡単な数で調べましょう。 見つからないときは真であると予想して証明を考える作業に移りましょう。
となり、反例が見つからなさそうなので証明を考えます。
ポイントは2つある
となります。
-
偽である。反例は
-
真である。
(証明) よって, すべての実数 について, は正である。
存在命題の証明方法
目次存在命題と聞くと仰々しく聞こえますが、要は存在することを示せばいいだけです。つまり、次のようにして証明します。
- 条件を満たすものを例示する
- 例示したものが条件を満たすことを証明する
条件を満たすものを見つけてきてたしかに成り立つことを示せば終わりです。 このときどうやって条件を満たすものを見つけたのかは書く必要がありません。 なので、唐突に書き出して大丈夫です。
また、きちんと具体的に例示することも大切です。
きちんと例示しなかったために結論がおかしくなってしまった例を紹介します。
Q. 命題「ある自然数
(誤答例)
よって, 真である。
一見それっぽいですが、よく考えると
そして偽であることを証明する場合は、条件を満たすものが存在してはいけないので「すべての要素が条件を満たさない」を証明します。 実はこれは全称命題になっています。この現象は「すべての」と「ある」の否定がそれぞれ「ある」・「すべての」と入れ変わることに関係しています。 見直してみると先程の全称命題が偽であることの証明の「反例が存在する」も存在命題です。
また、背理法では「すべての要素が条件を満たさない」と仮定して矛盾を示します。 注意点としてこの方法で証明された場合、条件を満たすものが存在することは分かっても具体的な値は分からないままとなります。
存在命題の真偽を答えるときは、まず条件を満たす例が存在するか簡単な数で調べましょう。見つからないときは偽であると予想して証明を考える作業に移りましょう。
(1)で気づいた人もいるかもしれませんが例題3は例題2の否定になっています。
なので、(2)は偽なのですが、その証明は
「すべての実数
-
のとき より, 真である。 -
偽である。
(証明) よって, が 以下になるような実数 は存在しない。
ここまで見てきたように全称命題と存在命題はコインの表と裏のような関係になっています。 それぞれの証明方法について表にまとめると下のようになります。
全称命題 | 存在命題 | |
---|---|---|
真 | 全部示す | 見つける |
偽 | 見つける | 全部示す |
※背理法で真であることを示すときは偽のときの方法で進めて矛盾を示す。
3. まとめと次回予告
目次まとめ
目次今回の内容をまとめると、
が真のとき は であるための必要条件、 が真のとき は であるための十分条件、 が真のとき は であるための必要十分条件- 空集合はどんな集合に対しても、その部分集合
- もとの命題を否定したものを仮定して矛盾を示すのが背理法
- 全称命題・存在命題を証明するときは「全部示す」のか「見つける」のか考える
次回予告
目次
後編ではいよいよ頻出の「
そして、「